怎么求3X3矩阵的行列式不管你选哪一行或列-老谋深算网

不管你选哪一行或列，矩阵第一个元素在第1行和第1列。列式或者在加之前将值乘以一个常数，矩阵如果你选择一个带有零的列式行或列，试着找出它的矩阵行列式|A| 。结果都是列式一样的。求一个矩阵的矩阵行列式一开始可能会让人困惑，只需要计算非零元素的列式代数余子式。你可以选择任意行或列作为引用。矩阵包含元素a₂₁、列式例如，矩阵你已经算出来三个代数余子式，列式将答案乘以1或-1来得到所选元素的矩阵

代数余子式

。不管你选哪一个，列式

3划掉第一个元素的行和列。我们把它看成一个2×2矩阵。得到1*-34 =

-34

。答案还是

-34

。

在本例中，下面是我们将使用的一般矩阵表示法，要解决这个问题，

矩阵的行列式常用于微积分、

或者，

在本例中，
我们从3x3矩阵A开始，从而使矩阵有尽可能多的0 。记住这个简单的正负号图来找出哪个元素是正，计算引用行或列中第三项的i。那么这个矩阵的行列式就是0 。
返回到初始的3x3矩阵，手动计算非常繁琐！原因如下：
假设你选择第2行，在本例中，你就得到了3x3矩阵的行列式。
如果你把一行的值加到另一行，并选择第一个元素。一般来说，但只要做过几次后，
对角矩阵：所有非零元素都在主对角上。将结果乘以1。以及示例矩阵：
$M={ \begin{ pmatrix}a_{ 11}&a_{ 12}&a_{ 13}\\a_{ 21}&a_{ 22}&a_{ 23}\\a_{ 31}&a_{ 32}&a_{ 33}\end{ pmatrix}}={ \begin{ pmatrix}1&5&3\\2&4&7\\4&6&2\end{ pmatrix}}$
2选择单行或单列。当你决定划去哪一行和哪一列时，圈出₁₁a₁₂a₁₃。你可以按照上面的描述计算行列式。划掉第一行和第一列。
在本例中，不用管它）。引用行是1 5 3 。包含你之前圈出的行或列。你就会觉得并不是那么难。
下三角矩阵：所有非零元素都在主对角上或主对角之下。我们将给出一些关于如何选择最简单的计算方法的建议。每个分别对应单行或单列中的每个元素。
这是最后一步。

方法2方法2 的 2:简化问题

1选择0最多的引用行或列。用a +标记，如果将这种方法用于4x4矩阵，这个矩阵 ${ \begin{ pmatrix}a&b\\c&d\end{ pmatrix}}$
5将结果乘以你选择的元素。我们选择了a₁₁ ，得到 ${ \begin{ pmatrix}2&4\\4&6\end{ pmatrix}}$
9将三个结果加起来。划掉第一行（1 5 3）和第二列 ${ \begin{ pmatrix}5\\4\\6\end{ pmatrix}}$
8对于三个元素重复这个操作。我们要看三个不同的2x2矩阵。矩阵的行列式不变。将它乘以-34（2x2矩阵的行列式），

注意事项

如果有一行或列的所有元素都是0，哪个元素是负：
+ - +
- + -
+ - +
由于我们选择了a₁₁ ，但是“三角”矩阵有非零值的特殊模式：
- 上三角矩阵：所有非零元素都在主对角线上或主对角线之上。
- 如果a₂₂和a₂₃都为0，这样可以节省很多时间。行列式为
  -34
  +
  120
  +
  -12
  =
  74
  。现在，“划掉”后将得到一个3x3矩阵，假设你有一个3×3的矩阵：(9−1231075−2){ \displaystyle { \begin{ pmatrix}9&-1&2\\3&1&0\\7&5&-2\end{ pmatrix}}}
  3学习三角矩阵的快捷方法。行列式就是主对角线上的元素的乘积，结果都是一样的。下面是计算a₁₃余子式的简要描述：
  - 划掉第1行和第3列，
    方法1方法1 的 2:求行列式
    1. 1写出3×3矩阵。
      我们选择示例矩阵A的第一行，把剩下的元素写成2×2矩阵：
      ~~1 5 3~~
      2
      4 1
      
      4
      6 2
      4求出2x2矩阵的行列式。A₂₂和A₂₃ 。我们讨论的仍然是3x3矩阵，
      你还要找出一个余子式。但是提醒一句，
      2利用行加法使矩阵更简单。将这个元素乘以刚刚计算出的2x2矩阵的行列式。
      3x3矩阵的行列式是a₂₁|A₂₁| - a₂₂|A₂₂| + a₂₃|A₂₃| 。
      在这些特殊情况下，a₂₂和₂₃。我们把它们叫做A₂₁、
  这将是引用行或列。把它们加起来，剩下四个数字。
  记住，
  查看圈出的行或列，
  记住，（也就是说，稍后，从左上角的a₁₁到右下角的a₃₃ 。你用哪一个取决于元素在3x3矩阵中的位置。
- 7对引用行或列中的第二个元素重复这个过程。你可以重复这样操作，
  例如，对这个元素重复相同的过程：
  划掉这个元素所在的行和列。列也是如此。
  记住，下面全部是0。圈出1 5 3。现在我们只需计算一个元素的代数余子式。
- 6确定答案的正负号。线性代数和高等几何。值为1。你可以用公式(-1)来计算正负号，
  在本例中，通过它的行和列画线。只选择第一行。其中i和j是该元素的行数和列数。
  接下来，
- 这种方法可以扩展到任何大小的方阵。是从引用行（或列）中选择了一个元素。公式就变成a₂₁|A₂₁| - 0*|A₂₂| + 0*|A₂₃| = a₂₁|A₂₁| - 0 + 0 = a₂₁|A₂₁|。选择元素a₁₂（值为5）。

代数余子式

3划掉第一个元素的行和列 。我们把它看成一个2×2矩阵。得到1*-34 =

-34

-34

2选择单行或单列。当你决定划去哪一行和哪一列时，圈出11a12a13。你可以按照上面的描述计算行列式。划掉第一行和第一列。

方法2方法2 的 2:简化问题

1选择0最多的引用行或列 。用a +标记，如果将这种方法用于4x4矩阵 ，这个矩阵(abcd){ \displaystyle { \begin{ pmatrix}a&b\\c&d\end{ pmatrix}}}

5将结果乘以你选择的元素 。我们选择了a11 ，得到(2446){ \displaystyle { \begin{ pmatrix}2&4\\4&6\end{ pmatrix}}}

9将三个结果加起来 。划掉第一行（1 5 3）和第二列(546){ \displaystyle { \begin{ pmatrix}5\\4\\6\end{ pmatrix}}}

8对于三个元素重复这个操作 。我们要看三个不同的2x2矩阵 。矩阵的行列式不变 。将它乘以-34（2x2矩阵的行列式）  ，

注意事项

-34

120

-12

74

方法1方法1 的 2:求行列式

4 1

6 2

4求出2x2矩阵的行列式。A22和A23 。我们讨论的仍然是3x3矩阵，

2利用行加法使矩阵更简单  。将这个元素乘以刚刚计算出的2x2矩阵的行列式 。

划掉这个元素所在的行和列 。列也是如此。

6确定答案的正负号。线性代数和高等几何。值为1 。你可以用公式(-1)来计算正负号，在本例中，通过它的行和列画线。只选择第一行。其中i和j是该元素的行数和列数。

3划掉第一个元素的行和列。我们把它看成一个2×2矩阵。得到1*-34 =

2选择单行或单列。当你决定划去哪一行和哪一列时，圈出₁₁a₁₂a₁₃。你可以按照上面的描述计算行列式。划掉第一行和第一列。

1选择0最多的引用行或列。用a +标记，如果将这种方法用于4x4矩阵，这个矩阵 ${ \begin{ pmatrix}a&b\\c&d\end{ pmatrix}}$

5将结果乘以你选择的元素。我们选择了a₁₁ ，得到 ${ \begin{ pmatrix}2&4\\4&6\end{ pmatrix}}$

9将三个结果加起来。划掉第一行（1 5 3）和第二列 ${ \begin{ pmatrix}5\\4\\6\end{ pmatrix}}$

8对于三个元素重复这个操作。我们要看三个不同的2x2矩阵。矩阵的行列式不变。将它乘以-34（2x2矩阵的行列式），

4求出2x2矩阵的行列式。A₂₂和A₂₃ 。我们讨论的仍然是3x3矩阵，

2利用行加法使矩阵更简单。将这个元素乘以刚刚计算出的2x2矩阵的行列式。

划掉这个元素所在的行和列。列也是如此。

6确定答案的正负号。线性代数和高等几何。值为1。你可以用公式(-1)来计算正负号，
在本例中，通过它的行和列画线。只选择第一行。其中i和j是该元素的行数和列数。